数学言語

二次方程式の解の条件では、基本的に以下の条件をチェックするようにしましょう。
\begin{equation}
1.判別式Dが0未満か0か0よりも大きいか
\end{equation}
\begin{equation}
2.軸が正負どちらか
\end{equation}
\begin{equation}
3.具体的なxの値におけるyの正負
\end{equation}
これらを念頭におきながら問題を解いていきます。

（１）
異なる２つの正の解をもつとき、イメージ的には添付①のようなグラフですよね。
こんなグラフになるような条件を考えてみると次のような条件が必要です。
\begin{equation}
1.判別式Dが0より大きいこと
\end{equation}
\begin{equation}
2.軸は正
\end{equation}
\begin{equation}
3.x=0のときyが正
\end{equation}

これら１個でも欠けてしまうと添付①のようにはなりません。
たとえば1と2だけしか満たしていないと添付②のようなグラフも作れてしまいます。
ですので、この（１）の問題に関しては３つ全ての条件を満たしていないとダメです。
では関係式を作っていきましょう。
\begin{equation}
D=k^2-4(-k+3)>0
\end{equation}
\begin{equation}
k^2+4k-12>0
\end{equation}
\begin{equation}
(k-2)(k+6)>0
\end{equation}
\begin{equation}
k<-6, 2<k　・・・①
\end{equation}
次に軸を考えると
\begin{align}
y &=x^2+kx-k+3\\
&=(x+\frac{1}{2}k)^2-\frac{1}{4}k^2-k+3\\
\end{align}
ですので、軸が正であることから
\begin{equation}
-\frac{1}{2}k>0
\end{equation}
\begin{equation}
k<0・・・②
\end{equation}
そしてx=0のときy>0であることからxに0を代入して
\begin{equation}
-k+3>0
\end{equation}
\begin{equation}
k<3・・・③
\end{equation}
したがって①②③を合わせるとkのあ範囲は以下の式になります。
\begin{equation}
k<-6
\end{equation}

（２）
イメージとしては添付③のような感じですね。
正の解と負の解を持つ条件はたった１つのみです。
\begin{equation}
3.x=0のときyが負
\end{equation}
いま下に凸のグラフですので、これを満たすだけで判別式をわざわざ
出さなくても正と負に必ず1つずつ交点を持ちます。
ですので、条件はx=0を代入して、以下のような式になります。
\begin{equation}
-k+3<0
\end{equation}
よって
\begin{equation}
k>3
\end{equation}

二次関数の問題の解き方がよくわかりません。
判別式は使いそうだということくらいは分かるのですが、いつもなんとなくで解いてしまいます。
詳しく説明してもらえると嬉しいです。