数学言語

対数微分法のお話ですね～

それではまず、対数（log）の便利な点についてお話します。

logには次のような性質があります。
・log2^3=3log2 のように、真数の指数をlogの前に出して掛け算にすることが出来る。
・log2*3=log2+log3 のように、掛け算を足し算にすることが出来る。
・log2/3=log2-log3 のように、割り算を引き算にすることが出来る。

～乗の計算を掛け算にして簡単に出来たり、
小学校の高学年くらいで習う掛け算割り算を、小学校１年生で習う足し算引き算に出来てしまうのです。
つまりは、【計算を簡単にすることが出来る】、ということなんです！
すばらしいですね！！

ここで、質門１番です、「なぜ対数をとるのか。」
についての回答は、「複雑な計算を簡単にするため。」です。


それでは、質門２番「どういう問題の場合に対数をとるのか」ですが、これは例を挙げて考えてみたいと思います。

例１）y=2x^3 を微分せよ。
これを対数微分法で問いてみます。

両辺の自然対数をとると、
logy=log2x^3=3log2x （ここで、真数の指数をlogの前に出してしまいます。）
両辺を微分すると、
y'/y=3*2/2x=3/x
y'=3/x*y=3/x*2x^3=6x^2

答えは、y'=6x^2 のようです。
答えは出ましたが、なんだかもっと簡単に微分する方法がありそうですね…
こんな面倒な計算をしなくても、この程度の問題でしたら、微分の公式に当てはめるだけで微分が出来てしましそうです。
つまり、この程度の計算でしたら、対数微分法を用いる必要はないということです。


では、どのようなときに対数微分法を用いるのかを説明します。

例２）y=(x+4)^2/{(x-3)^2*(3x+1)^4} を微分せよ。

さて、これを微分の公式たちに当てはめて問いてみてください。

……………！

めんどくさいですね！(∩´∀｀)∩ﾜｰ

ということで、対数微分法を用いて微分してみましょう！

両辺の自然対数をとると、
logy=log(x+4)^2/{(x-3)^2*(3x+1)^4}
=log(x+4)^2-log{(x-3)^2*(3x+1)^4}
=log(x+4)^2-log(x-3)^2-log(3x+1)^4
=2log(x+4)-2log(x-3)-4log(3x+1) (指数をlogの前に下ろしました。）
両辺を微分すると、
y'/y=2(x+4)'/(x+4)-2(x-3)'/(x-3)-4(3x+1)'/(3x+1)
=2/(x+4)-2/(x-3)-12/(3x+1)
={2(x-3)(3x+1)-2(x+4)(3x+1)-12(x+4)(x-3)}/(x+4)(x-3)(3x+1) (通分しました。展開はしなくてOKです。）
y'={2(x-3)(3x+1)-2(x+4)(3x+1)-12(x+4)(x-3)}/(x+4)(x-3)(3x+1)*(x+4)^2/{(x-3)^2*(3x+1)^4}
={2(x-3)(3x+1)-2(x+4)(3x+1)-12(x+4)(x-3)}(x+4)/(x+4)(x-3)(3x+1){(x-3)^2*(3x+1)^4}

ふぅ、これが答えです。全部展開してもいいですが、しなくてもまあいいでしょう。
我ながらめんどくさい例題を出したものです…
ですが、普通に公式に当てはめて解いていくとなると、これよりもめんどくさい計算が束になって襲い掛かってくるので、対数微分法を使ったのは正解だと思いましょう…

なんだかんだで、対数微分法を使う場合というのはどんな場合か、というのをまとめてみます。

《対数微分法を使う場合》
・掛け算や分数、累乗の数が大量に出てくる場合に使う。
・微分の公式に当てはめていけば解けるようなものには使わない。

ということです。

長文失礼！
何か不明な点ございましたら追記お願いします。


《追記》
そうです、問題ありません
例をあげてみます

4=2^2
これの両辺にlog2(底が2の対数)をつけますと
log2 4=log2 2^2
2=2

となります。
これでわかっていただけましたでしょうか？

ちなみに、logにかぎらず、= で結ばれた両辺に同じ作業をしても問題ありません

数学の微分法についての質問
関数を微分する際に、「両辺の対数をとると」といって、両辺の対数を取って解く問題があるのですが、なぜ対数を取るのかが分かりません。

１．なぜ対数をとるのか
２．どういう問題の場合に対数をとるのか

教えてください。よろしくお願いいたします。