数学言語

例として
\[10^2<326<10^3\]
で326は3桁
一般に、自然数$N$に対して
\[10^{m-1} \leq N<10^m \]
となる自然数$m$があるとすると
$N$は$m$桁の自然数となる。
問題では$N=3^{30}$だから
\[10^{m-1} \leq 3^{30}<10^m \]
となる自然数$m$を求める。
各辺の常用対数をとって
\[ \log_{10}10^{m-1} \leq \log_{10}3^{30}<\log_{10}10^m \]
ここで
\[ \log_{10}10^{m-1}=(m-1)\log_{10}10=m-1 \]
\[ \log_{10}3^{30}=30\log_{10}3=30 \times 0.4771=14.313 \]
\[ \log_{10}10^m=m\log_{10}10=m \]
よって
\[ m-1 \leq 14.313<m \]
$m-1 \leq 14.313$より　$m \leq 15.313$
したがって
$14.313<m \leq 15.313$
$m$は自然数だから$m=15$

常用対数の根本がよく分かっていません。
どういう考えで桁数が分かるのでしょうか。教えてください。