数学言語

前半
"標本平均の平均"に関する話ですね。

おっしゃる通り、95%, 90%というのは信頼率（自分で決める値）のことですから、サンプル数によって変動する"値"ではありません。

区間の"幅"というのは、信頼率を（例えば）95%と定め、標本平均から母平均を推測するという試行をしたとき、95%の信頼率で母平均があると言えそうな"ゆとり"のことです（母数をズバリ言い当てることは、全数調査しないと出来ないので）。

当然、一度の調査で集めるサンプル数が少なければ（例えば１個だけのサンプリングだと）、偶然に左右される度合いが高まるので、もの凄く広い"幅"で予想を立てなければ、95%もの精度で言い当てることは出来なくなります。一方、多くのサンプルから母数を推測する（例えば母数が100人の集団のうち、90人のデータを揃える）ようなケースでは、ほぼ母数に等しい値が算出できるでしょうから、予想する区間をかなり狭くしても、95%の精度で当たるという訳です。

後半
√ の中は
$0.104 \times 0.896 \div 500＝0.0932 \div 500＝0.000186 \cdots$
$\sqrt{0.000186} \fallingdotseq 0.01365 \cdots $
ふつうに掛け算割り算を電卓でやるしかないです。

統計学、信頼区間についての質問です

区間推定について述べられていた下記の文章についてです。↓
『サンプルサイズが大きいほど、信頼区間の幅は狭くなります。』
このように統計webというサイトに書いてあったのですが何故このようなことになるのかが理解できていませんどなたか教えて頂きたいですm(._.)m
信頼区間は95%、90%など自由に設定するものなので、サンプルサイズとの関係性があるとは思えないんです。(o_o)

あと、統計の95%信頼区間についての質問です。
「あるテレビ番組が、無作為に選ばれた500世帯の内52世帯で視聴されていることが分かった。この番組の視聴率pに対する信頼度95%の信頼区間を求めよ」という問題で、
信頼区間の式において、1.96√(0.104×0.896/500)になるのは分かるんですけど、この√の中の部分ってどういう風に計算するといいですか？
解答もそこが省かれてて、分からないんです。

以上2点を解説してくれる方、ご回答宜しくお願い致します。