数学言語

>②と③についてはy≦0でf(t)=kを満たす解が3つ存在してたんで、
>どちらも本数3本傾きも3本とも負だと思っていたんですが

そう思う理由が書いていないので分かりませんが、実際に傾きを求めてみればいいだけですね。

k=-2t^3+6t^2-8=f(t)のグラフ書く。
f'(t)=-6t^2+12t=0よりt=0,2で極値。
f(0)=-8,f(2)=0だから
①k=0のときの交点
-2t^3+6t^2-8=0よりt^3-3t^2+4=0
(t-2)(t^2-t-2)=0よりt=-1,2
∴y=0とy=-2t^3+6t^2-8の交点は(-1,0)

②k=-8のときの交点
-2t^3+6t^2-8=-8よりt=0,3
∴y=0とy=-2t^3+6t^2-8の交点は(3,0)

これらを考慮する(見れば誰でもわかる)と

①k＞0のとき交点１つでx＜-1
②k=0のとき交点2つでx=2,-1
③-8＜k＜0のとき交点3つで
α＞2,0＜β＜2,γ＜0
④k=-8のとき交点2つでx=0,3

>②と③については$y \leq 0でf(t)=k$を満たす解が3つ存在してたんで、
>どちらも本数3本傾きも3本とも負だと思っていたんですが

そう思う理由が書いていないので分かりませんが、実際に傾きを求めてみればいいだけです。

$k=-2t^3+6t^2-8$なので
$k=-2$のとき、$2t^3-6t^2+6=0⇔t^3-3t^2+3=0$
$g(t)=t^3-3t^2+3,g^{\prime}(t)=3t^2-6t=3t(t-2),$
$x=0,2$のときの$g(x)$の値は、$g(0)=3>0,g(2)=-1<0$
さらに$g(-1)=-1<0,g(1)=1>0,g(3)=3>0$だから、
$a) -1<x<0,$
$b) 1<x<2,$
$c) 2<x<3 $の間に3解を持つ


$f^{\prime}(x)=3x^2-3$なので、$-1<x<1$では負、それ以外は正。
したがって、a)で負、b)c)で正

➂は各自で確認してください

接線の本数と「その傾き」について質問があります。
C:y=x^3-3x-2上の点(t、t^3-3t-2)における接線をLとする。この接線はP(2、k)を通る。kは実数
k=-2t^3+6t^2-8=f(t)として微分してグラフを書く。

問題はここからなのですが、Pの接線の本数と傾きは

①k=2のとき、接線1本傾きは正

②k=-2のとき、接線3本傾き2本正1本負

③k=-6のとき、接線3本傾き1本正2本負

①はわかるんですが、②と③についてはy≦0でf(t)=kを満たす解が3つ存在してたんで、どちらも本数3本傾きも3本とも負だと思っていたんですが何故こうなるのかいまいちわからないです。

多分変曲点(1、-4)を境に傾きの正負が変わってるんだとは思うんですがよくわからないので解説のほど、よろしくお願いします。