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複素数平面上においてA(α) B(β) C(γ)とすると
ベクトルBCはベクトルBAを±π/3だけ回転させたものだから、
γ－β＝(cos(±π/3)+isin(±π/3))(α－β)
γ－β＝(1/2±i√3/2)(α－β)
γ＝(1/2±i√3/2)(4－2i)+2i
ㅤ＝2±√3+(1±2√3)i (複号同順)
したがって、
C(2+√3、1+2√3)、(2-√3,1-2√3)

数Ⅱの図形と方程式の問題についての質問です。

3点A（4,0）， B（0,2）， C（a,b）について，△ABCが正三角形であるとき、a, bの値を求めよ。
この問題は青チャート数ⅡBの図形と方程式の基本例題73の問題です。回答ではAB=BC=CAを全て2乗し整理しそれを代入して解いています。
この問題の別解として複素数平面の考え方を使いABベクトルを1倍して60度回転してACベクトルを求めたらできそうだなと思ったのですがなんだかうまくいきません。
どなたか回答を作っていただけませんか。
この問題の答えは
(a, b) = (2+√3, 1+2√3), (2- √3, 1-2√3)
です
何か条件が足りないなどしてそもそも解けないのならそれを教えて欲しいです