数学言語

x＝p+q√3をx−p＝q√3として両辺2乗するとx^2−2px+p^2-3q^2＝0という二次方程式を得ることができて、a=-2pとb=p^2-q^2の二式を連立させて考えればqが0か否かでの場合わけ無しで解くことが可能なように思えるのですが、上記の考察に論理の穴はありますか。（連立させてしまうところにやや論理の飛躍があるのではないかと不安があります）
お忙しいところすみませんが教えていただきたいです。