数学言語

常用対数、難しいですよね…。
自分も最初あまり理解出来ていなかったです。
常用対数は天文学とかで大活躍するものですね。
とにかく馬鹿でかい数字を扱うときに真価を発揮するものらしいです。
1000000000000000000000みたいな桁数の大きい数字を扱うときにそのまま計算するのは不都合だからこれを10の累乗の形で表すのです。
この考え方から常用対数で桁数の大きい数字を考えるのです。
⑴は常用対数関係なく普通の対数関数の計算です。
log₁₀6=log₁₀(2×3)=log₁₀2+log₁₀3=0.3010+0.4771=0.7781
ですね。
⑵6⁵ºが何桁かです。
巨大な数字の桁数を知りたいんです。
ここで常用対数が活きてきます。
そもそも桁ってどうやって決まるかというと我々が普段扱っている数字(この問題でも)は10進数で数字が10個で1周します。
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9で次に10でまた1の位が0,1,2,…となりますね。
こういうことから10というものが桁の基準となっていて、小学1年の最初の方で習うように例えば123という数字は
100が1個と10が2個と1が3個
と考えるわけです。
これを数学的に表すと(100=10²,1=10º)
1×10²+2×10+3×10º
と表します。
こんな感じで桁というのは10という数字が基準となります。
これ以外にも数の表し方があって
1000000000
この数字読みにくいですよね。
桁がデカすぎるんです。
これをすっと纏めたいんです。
これは10が9個掛けられていますから10⁹と表します。
もっとちゃんと書くなら
1×10⁹ですね。有効数字2桁で考えたら1.0×10⁹です。
164389257513というテキトーに書いた数字ですが、こういうのを有効数字2桁だと1.6×10¹¹のように表すんです(数え間違えていなければ11乗)。
数字はA×10ⁿという形で表すことができます。
Aというのは整数部分が1桁(0じゃない)の少数で表した数です。つまり1≦A＜10です。
この表記によって桁数を分かりやすくしているのです。
A×10²だったら3桁の数だということが分かりますし、A×10⁵だったら6桁、A×10²³だったら24桁、A×10¹º⁴だったら105桁、あるいはA×10⁻²だったら少数第2位から0じゃない数字が始まる少数だと分かります。
この10ⁿの部分を知りたいんです。
桁数を表しているのは10ⁿ部分なんです。これを知りたいんです。
じゃあ10の何乗なのかを知りたいときにどうするのかですが、まさにある数の何乗なのかを表す関数があったじゃないですか。それが対数であり、10を底とする対数が常用対数です。
では問題を解いていきます。
色々書き方、解き方がありますが、写真のやり方に合わせて、まず桁を求めたい数の常用対数を取ります。
log₁₀6⁵º=50log₁₀6
⑴でlog₁₀6の値は求めていますから
=50×0.7781=38.905(計算頑張ってください)
log₁₀6⁵º=38.905というのは対数の定義より
6⁵º=10の38.905乗ということを表しています。
これが何桁かを知りたいのです。
10の38.905乗って何桁を表しているのかです。
それを先程求めた常用対数の数値から求めるのです。
log₁₀6⁵º=38.905より
38＜log₁₀6⁵º＜39ですから
log₁₀10³⁸＜log₁₀6⁵º＜log₁₀10³⁹ということで底10は1より大きいですから
10³⁸＜6⁵º＜10³⁹
となります。
6⁵ºが(1×)10³⁸と(1×)10³⁹の間の数なのですから6⁵ºはA×10³⁸で表される数だということが分かるのです。
したがって6⁵ºは39桁になります。

【数学】対数関数。理解力がないものです。

最後はなぜ10の○乗になるのでしょうか。違う問題でも真ん中が5で他は10の○乗でした。
んー…計算しないといけないんですか？全部計算してあ、こうゆう範囲だなと理解してから並べるんですか？とんでもない時間がかかりそうです。
よろしくお願いいたします。