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x²-1=(x-1)(x+1)
x³-1=(x-1)(x²+x+1)
x⁴-1=(x-1)(x³+x²+x+1)
…
xⁿ-1=(x-1)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²+…+1)
この説明でいかがでしょうか？

A=xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²+…+1 とおくと
xA=xⁿ+xⁿ⁻¹+…+x
2式の差から
(x-1)A=xⁿ-1
(x-1)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²+…+1)=xⁿ⁻¹
というのはいかがでしょうか？

等比数列の和を利用すると
1+x+x²+…+xⁿ⁻¹
は、初項1、公比x、項数n、の等比数列なので、
1+x+x²+…+xⁿ⁻¹=(xⁿ-1)/(x-1)
これより
xⁿ-1=(x-1)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²+…+1)
という証明もありですね。

このnを2Mに変えれば、下線部の因数分解になりますね。

なぜ下線部のように因数分解できるのか分からないので教えてください